teoria cinetica dei gas
alcune note dell'autore sulla fisica
e la matematica della simulazione
certamente ricorderete che...
...la teoria cinetica dei gas fu sviluppata inizialmente da James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann.
Il calcolo di Maxwell (1859) sulla legge di distribuzione delle velocità delle molecole
all'equilibrio termico può essere considerato come il punto di partenza della meccanica statistica,
la prima volta volta che un concetto termodinamico macroscopico come la temperatura venne messo in
relazione quantitativa alla dinamica microscopica. Il lavoro successivo di Boltzmann gettò realmente
le fondamenta per questa disciplina, con la prima analisi microscopica dell'irreversibilità e
l'approccio all'equilibrio (1872).
in merito alle dimensioni ed alla densità
- Per default le "molecole" hanno un raggio di 1 pixel e sono confinate in uno spazio con lato di
200 pixels. Per confrontare questa situazione con un gas della vita reale, si potrebbe dire che 1 pixel sia
praticamente 1 angstrom e che lo spazio sia circa 2x10-8m di lato. Usando l'espressione PV = NkT
(dove k è la costante di Boltzmann e N è il numero di particelle) si può verificare che
a temperatura e pressione normali (1 atm, 300 K) uno spazio (cubico) di quella misura contiene circa 200
molecole.
- Naturalmente 200 molecole in uno spazio bidimensionale di lato 2x10-8m andranno a collidere
molto più spesso delle stesse 200 molecole in uno spazio tridimensionale di lato 2x10-8m.
Da questo punto di vista, il libero cammino medio L è la quantità che dovrebbe essere presa
come riferimento. Per un gas in 3 dimensioni, L è dell'ordine di
[ V / (N p d) ], dove d rappresenta il diametro delle molecole.
In due dimensioni, si trova L = A / (2 N d), il quale significa che per poter
comparare i liberi cammini medi, il numero di particelle nello spazio bidimensionale dovrebbe essere più
piccolo rispetto allo spazio tridimensionale di un fattore pari ad (approssimativamente) il rapporto di
d rispetto al lato dello spazio, o circa 1/100 nel nostro caso. Così per simulare un gas a
pressione e temperatura normali si dovrebbero avere pochissime particelle nello spazio, diciamo più o
meno 4.
in merito alla velocià ed all'unità di tempo
- Tutte le molecole sono inizialmente alla stessa velocità v0, in direzioni differenti. In aria
a temperatura e pressione normali, la velocità rms è dell'ordine di 500 m/s (483 per l'ossigeno,
517 per l'azoto). Nell'animazione il tempo è misurato in unità di L/10v0, dove L è
la lunghezza del lato. Se si assume L = 2x10-8m, e si usa il valore di prima per v0, si
trova un'unità di tempo per la simulazione di circa 4 picosecondi!
Dunque stiamo osservando degli
oggetti in moto estremamente lento.
- Dal momento che occorrono 10 unità di tempo per coprire la distanza L, la velocità v0
è L/10 = (20 pixels)/(unità di tempo). Usando questo con la formula del paragrafo precedente per il
libero cammino medio si ottiene un tempo medio tra le collisioni te, dell'ordine di
te = [ L/v0 - 1000/(N d )] unità di tempo
(con il diametro della particella, d, espresso in pixels). Per comparazione, Reif (Fundamentals of Statistical
and Thermal Physics, McGraw-Hill, 1965; paragrafo 12.2) fornisce un tempo medio di collisione per molecole
d'aria a temperatura e pressione normali di circa 600 picosecondi.
- Per testare l'equazione scritta sopra nella simulazione al computer, occorre tenere a mente che, se ne
è il numero totale di collisioni dopo un tempo t, ciò significa che ogni molecola ha colliso, in
media, circa 2ne/N volte (il fattore 2 è dovuto al fatto che ogni collisione coinvolge 2 molecole!).
Pertanto il tempo di collisione medio per molecola dovrebbe essere ottenuto dalla simulazione come
te = (t N)/(2ne). Se viene provata la simulazione alcune volte e viene
comparato questo con l'equazione (teorica) scritta più sopra per te, si dovrebbe ottenere un
certo accordo all'interno del fattore di proporzionalità dell'ordine dell'unità.
la distribuzione di velocità
- La distribuzione Maxwelliana delle velocità per un gas ideale a due dimensioni dovrebbe essere
Il termine all'esponente è solo l'energia cinetica divisa per kT. Questa distribuzione è normalizzata
in modo che l'integrale delle due velocità dia N, numero totale di molecole nello spazio. Per partire da qui
ed arrivare alla distribuzione delle velocità, occorre scrivere d2v in coordinate polari,
come v dv df, ed integrare sugli angoli, per ottenere
L'energia cinetica media per molecola ottenuta da questa distribuzione è
che è consistente con il teorema dell'equipartizione (un'energia media di kT/2 per grado di libertà -
noi qui abbiamo due gradi di libertà nell'esempio bidimensionale). Si noti che l'energia cinetica totale
del nostro gas è sempre la stessa ed è uguale a N(1/2 m v02), così
che possiamo dire che la temperatura del nostro gas è
T = (m v02) / (2 K), in termini della velocità iniziale
delle molecole. Questo è diverso di un fattore 3/2 dal risultato familiare tridimensionale (che è
stato usato sopra per stimare la velocità rms delle molecole d'aria a temperatura ambiente).
- La frazione di molecole con velocità tra v e (v + Dv ) si ottiene
facilmente integrando la distribuzione delle velocità F(v). Il risultato è
Questo è ciò che viene disegnato dal programma (la linea blu nel riquadro "distribuzione delle
velocità"). La larghezza Dv di ogni gradino è circa 0.244 v.
L'autore ha scelto questa strana frazione al posto di un più semplice 1/4 v0
per evitare di avere la velocità iniziale v0 che cada esattamente sul bordo del quarto gradino). Vi sono
dieci gradini, così che la curva vada da v = 0 a v = (2.44 v0).
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Original english text written and © 1997 by Julio Gea-Banacloche
Italian translation and integration © 1998 by Carlo Sansotta for IFMSA WebLab