facoltà di
INGEGNERIA
salita Sperone 31 98166 S. Agata - Messina
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CORSO di LAUREA in
INGEGNERIA DEI MATERIALI

Presidente : Prof. Antonino Valenza


ANALISI MATEMATICA II

PROGRAMMA

DIARIO di ESAMI

ORARIO delle LEZIONI

PRENOTAZIONI ESAMI


PROGRAMMA di ANALISI MATEMATICA II

Corso di Laurea in: INGEGNERIA dei MATERIALI
A. A. 2001/2002
Docente: Dott.Filippo Cammaroto

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1) Elementi di topologia
Spazi metrici - Intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati, punti interni, punti di frontiera, punti di accumulazione - Metriche equivalenti - Metriche in Rn - Successioni negli spazi metrici - Successioni di Cauchy - Spazi metrici completi - Funzioni continue tra spazi metrici - Funzioni lipschitziane tra spazi metrici - Teorema di punto fisso di Banach Caccioppoli - Spazi metrici compatti - Teorema di Weierstrass - Funzioni uniformemente continue tra spazi metrici - Teorema di Heine-Cantor - Spazi vettoriali - Spazi normati - Spazi di Banach

2) Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni - Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni - Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme - Teorema di continuità per successioni di funzioni - Passaggio al limite sotto il segno di integrale - Teorema di derivazione per successioni di funzioni - Serie di funzioni - Convergenza puntuale, convergenza uniforme, convergenza assoluta e convergenza totale per le serie di funzioni - Teorema di continuità per le serie di funzioni - Teorema di integrazione per serie di funzioni - Teorema di derivazione per serie di funzioni - Serie di potenze nel campo reale - Raggio di convergenza ed intervallo di convergenza di una serie di potenze - Teorema di Cauchy-Hadamard - Teorema di Abel per le serie di potenze - Derivazione ed integrazione delle serie di potenze - Funzioni analitiche - Serie di Taylor - Sviluppi in serie di Taylor di alcune funzioni notevoli - Funzioni periodiche - Serie di Fourier - Disuguaglianza di Bessel ed identità di Parseval - Convergenza delle serie di Fourier

3) Funzioni di più variabili
Continuità delle funzioni di più variabili reali - Limiti delle funzioni di più variabili - Grafico di una funzione di più variabili: curve e superfici di livello - Derivate parziali - Teorema di Schwarz - Derivata secondo un vettore e derivata direzionale - Funzioni differenziabili - Condizioni necessarie per la differenziabilità - Teorema del differenziale totale - Piano tangente e retta normale al grafico di una funzione - Derivata delle funzioni composte - Funzioni aventi gradiente nullo - Formula di Taylor per funzioni di più variabili - Funzioni positivamente omogenee - Teorema di Eulero - Funzioni implicite - Teorema del Dini - Derivata della funzione implicita - Teorema del Dini per i sistemi di funzioni implicite - Massimi e minimi locali di funzioni di più variabili - Forme quadratiche - Teorema di Fermat - Ricerca degli estremi relativi mediante lo studio della matrice Hessiana - Massimi e minimi assoluti di una funzione di più variabili - Massimi e minimi vincolati - Metodo dei moltiplicatori di Lagrange - Integrali dipendenti da parametri - Teorema di derivazione sotto il segno di integrale

4) Curve ed integrali curvilinei
Funzioni a valori vettoriali - Curve in R3 - Equazione parametrica e vettoriale di una curva - Curve regolari e generalmente regolari - Vettore tangente ad una curva in un punto - Diffeomorfismi e riparametrizzazioni - Curve rettificabili e lunghezza di una curva - Ascissa curvilinea - Curvatura e torsione di una curva - Piano oscuratore - Triedro di Fernet - Equazioni di Fernet - Teorema fondamentale delle curve spaziali - Integrali curvilinei di funzioni rispetto alla lunghezza d'arco - Significato geometrico e proprietà degli integrali curvilinei di funzioni - Applicazioni degli integrali curvilinei di funzioni ai corpi filiformi: calcolo della massa, delle coordinate del baricentro e del momento d'inerzia rispetto ad un asse orientato di un corpo filiforme di assegnata densità - Forme differenziali lineari e campi vettoriali ad esse associate - Integrali curvilinei delle forme differenziali - Proprietà degli integrali curvilinei delle forme differenziali - Forme differenziali esatte: campi vettoriali conservativi - Potenziale di un campo conservativo - Integrale curvilineo di una forma differenziale esatta - Forme differenziali chiuse: campi vettoriali irrotazionali - Forme differenziali su insiemi semplicemente connessi - Metodi per il calcolo del potenziale di un campo vettoriale conservativi

5) Integrali multipli
Teoria della misura secondo Peano-Jordan in Rn : misura degli intervalli chiusi e dei plurintervalli - Misurabilità degli insiemi limitati e degli insiemi qualsiasi - Proprietà della misura di Peano-Jordan - Integrale secondo Riemann di una funzione su un dominio limitato - Decomposizioni misurabili dei domini - Somme di Riemann di una funzione relative ad una decomposizione misurabile del dominio - Condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità - Teorema della media - Proprietà dell'integrale di Riemann - Misura del cilindroide di una funzione di più variabili - Integrali per proiezioni e sezioni - Domini normali e formule di riduzione di integrali doppi su domini normali - Integrali tripli per strati e per fili - Formule di riduzione per integrali tripli - Cambiamento di variabili negli integrali doppi - Coordinale polari - Cambiamento di variabili negli integrali tripli - Coordinate sferiche - Coordinate cilindriche - Applicazioni degli integrali doppi: calcolo delle aree, calcolo dei volumi, calcolo della massa, del baricentro e del momento d'inerzia rispetto ad un asse di una lamina - Applicazioni degli integrali tripli: calcolo dei volumi, calcolo della massa, del baricentro e del momento d'inerzia rispetto ad un asse di un corpo solido - Teorema di Gauss-Green nel piano - Applicazioni del teorema di Gauss-Green: area di una figura piana, teorema della divergenza nel piano, teorema del rotore nel piano

6) Integrali impropri
Insiemi di misura nulla secondo Peano-Jordan - Integrali su insiemi di misura nulla - Funzioni quasi continue in senso elementare - Integrale delle funzioni quasi continue - Successioni di domini invadenti il proprio limite - Criteri di integrabilità delle funzioni quasi continue - Integrali su domini non limitati - Criteri di integrabilità delle funzioni definite su domini non limitati

7) Superfici ed integrali superficiali
Superfici in R3 - Equazioni parametriche di una superficie - Superfici regolari - Piano tangente e retta normale ad una superficie regolare - Area di una superficie regolare - Integrali superficiali - Solidi di rotazione - Area di una superficie di rotazione - Volume di un solido di rotazione - Teoremi di Guldino - Teorema della divergenza nello spazio - Teorema del rotore nello spazio - Campi vettoriali solenoidali - Potenziale vettore di un campo vettoriale - Calcolo di un campo vettoriale solenoidale attraverso la conoscenza del suo rotore - Flusso di un campo vettoriale solenoidale attraverso superfici regolari

8) Equazioni differenziali ordinarie
Definizioni e classificazioni - Il problema di Cauchy - Teorema di Peano di sola esistenza di soluzioni del problema di Cauchy - Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy - Estensioni e complementi dei teoremi di Peano e di esistenza ed unicità - Equazioni differenziali a variabili separabili - Esistenza delle soluzioni raccordate - Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine n: determinante Wronskiano, soluzioni indipendenti e dimensione dello spazio delle soluzioni - Equazioni differenziali lineari non omogenee di ordine n: spazio delle soluzioni e calcolo di una soluzione particolare con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie - Metodi risolutivi per vari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: lineari, di Bernoulli, di Riccati, omogenee, due particolari tipi di equazioni riconducibili ad equazioni a variabili separabili - Equazioni differenziali esatte - Equazioni differenziali risolubili mediante il fattore integrante - Equazioni differenziali in forma non normale - Particolari equazioni differenziali di ordine superiore al primo - Equazioni differenziali di Eulero - Sistemi di equazioni differenziali - Teoremi di esistenza ed unicità per sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti - Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti

9) Complementi sulle equazioni differenziali
Inviluppi ed integrali singolari - Famiglie di curve piane e loro equazioni differenziali - Traiettorie ortogonali - Equazioni differenziali di Clairaut, di D'Alambert-Lagrange - Cenni sulle equazioni differenziali alle derivate parziali - Classificazione delle equazioni differenziali a variabili separabili del secondo ordine - Risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali col metodo della separazione delle variabili


Testi consigliati

· N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone - Analisi Matematica II - Liguori Editore
· C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica II - Masson
· S. Salsa, A. Squellati - Esercizi di Analisi Matematica II - Masson



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